本文首先会介绍一些预备知识，比如softmax、ngram等，然后简单介绍word2vec原理，之后来讲解fastText的原理，并着手使用keras搭建一个简单的fastText分类器，最后，我们会介绍fastText在达观数据的应用。
Softmax回归（Softmax Regression）又被称作多项逻辑回归（multinomial logistic regression），它是逻辑回归在处理多类别任务上的推广。
在逻辑回归中， 我们有m个被标注的样本：
，其中
。因为类标是二元的，所以我们有
。我们的假设（hypothesis）有如下形式：
代价函数（cost function）如下：
在Softmax回归中，类标是大于2的，因此在我们的训练集
中，
。给定一个测试输入x，我们的假设应该输出一个K维的向量，向量内每个元素的值表示x属于当前类别的概率。具体地，假设
形式如下：
代价函数如下：
其中1{·}是指示函数，即1=1,1=0
既然我们说Softmax回归是逻辑回归的推广，那我们是否能够在代价函数上推导出它们的一致性呢？当然可以，于是：
可以看到，逻辑回归是softmax回归在K=2时的特例。
你可能也发现了，标准的Softmax回归中，要计算y=j时的Softmax概率：
，我们需要对所有的K个概率做归一化，这在|y|很大时非常耗时。于是，分层Softmax诞生了，它的基本思想是使用树的层级结构替代扁平化的标准Softmax，使得在计算
时，只需计算一条路径上的所有节点的概率值，无需在意其它的节点。
下图是一个分层Softmax示例：
树的结构是根据类标的频数构造的霍夫曼树。K个不同的类标组成所有的叶子节点，K-1个内部节点作为内部参数，从根节点到某个叶子节点经过的节点和边形成一条路径，路径长度被表示为
。于是，
就可以被写成：
其中：
表示sigmoid函数；
表示n节点的左孩子；
是一个特殊的函数，被定义为：
是中间节点
的参数；X是Softmax层的输入。
上图中，高亮的节点和边是从根节点到 
的路径，路径长度
可以被表示为：
于是，从根节点走到叶子节点
，实际上是在做了3次二分类的逻辑回归。
通过分层的Softmax，计算复杂度一下从|K|降低到log|K|。
在文本特征提取中，常常能看到n-gram的身影。它是一种基于语言模型的算法，基本思想是将文本内容按照字节顺序进行大小为N的滑动窗口操作，最终形成长度为N的字节片段序列。看下面的例子：
我来到达观数据参观
相应的bigram特征为：我来 来到 到达 达观 观数 数据 据参 参观
相应的trigram特征为：我来到 来到达 到达观 达观数 观数据 数据参 据参观
注意一点：n-gram中的gram根据粒度不同，有不同的含义。它可以是字粒度，也可以是词粒度的。上面所举的例子属于字粒度的n-gram，词粒度的n-gram看下面例子：
相应的bigram特征为：我/来到 来到/达观数据 达观数据/参观
相应的trigram特征为：我/来到/达观数据 来到/达观数据/参观
n-gram产生的特征只是作为文本特征的候选集，你后面可能会采用信息熵、卡方统计、IDF等文本特征选择方式筛选出比较重要特征。
你可能要问，这篇文章不是介绍fastText的么，怎么开始介绍起了word2vec？
最主要的原因是word2vec的CBOW模型架构和fastText模型非常相似。于是，你看到facebook开源的fastText工具不仅实现了fastText文本分类工具，还实现了快速词向量训练工具。word2vec主要有两种模型：skip-gram 模型和CBOW模型，这里只介绍CBOW模型，有关skip-gram模型的内容请参考达观另一篇技术文章：
漫谈Word2vec之skip-gram模型
CBOW模型的基本思路是：用上下文预测目标词汇。架构图如下所示：
输入层由目标词汇y的上下文单词 
组成， 
是被onehot编码过的V维向量，其中V是词汇量；隐含层是N维向量h；输出层是被onehot编码过的目标词y。输入向量通过 
维的权重矩阵W连接到隐含层；隐含层通过 
维的权重矩阵 
连接到输出层。因为词库V往往非常大，使用标准的softmax计算相当耗时，于是CBOW的输出层采用的正是上文提到过的分层Softmax。
输入是如何计算而获得输出呢？先假设我们已经获得了权重矩阵
和
（具体的推导见第3节），隐含层h的输出的计算公式：
即：隐含层的输出是C个上下文单词向量的加权平均，权重为W。
接着我们计算输出层的每个节点：
这里
是矩阵
的第j列，最后，将
作为softmax函数的输入，得到
：
在学习权重矩阵和过程中，我们首先随机产生初始值，然后feed训练样本到我们的模型，并观测我们期望输出和真实输出的误差。接着，我们计算误差关于权重矩阵的梯度，并在梯度的方向纠正它们。
首先定义损失函数，objective是最大化给定输入上下文，target单词的条件概率。因此，损失函数为：
这里，
表示目标单词在词库V中的索引。
如何更新权重
?
我们先对E关于
求导：
函数表示：
于是，
的更新公式：
如何更新权重W？
我们首先计算E关于隐含层节点的导数：
然后，E关于权重的导数为：
于是，
的更新公式：
终于到我们的fastText出场了。这里有一点需要特别注意，一般情况下，使用fastText进行文本分类的同时也会产生词的embedding，即embedding是fastText分类的产物。除非你决定使用预训练的embedding来训练fastText分类模型，这另当别论。
word2vec把语料库中的每个单词当成原子的，它会为每个单词生成一个向量。这忽略了单词内部的形态特征，比如：“apple” 和“apples”，“达观数据”和“达观”，这两个例子中，两个单词都有较多公共字符，即它们的内部形态类似，但是在传统的word2vec中，这种单词内部形态信息因为它们被转换成不同的id丢失了。
为了克服这个问题，fastText使用了字符级别的n-grams来表示一个单词。对于单词“apple”，假设n的取值为3，则它的trigram有:
“<ap”, “app”, “ppl”, “ple”, “le>”
其中，<表示前缀，>表示后缀。于是，我们可以用这些trigram来表示“apple”这个单词，进一步，我们可以用这5个trigram的向量叠加来表示“apple”的词向量。
这带来两点好处：
1. 对于低频词生成的词向量效果会更好。因为它们的n-gram可以和其它词共享。
2. 对于训练词库之外的单词，仍然可以构建它们的词向量。我们可以叠加它们的字符级n-gram向量。
之前提到过，fastText模型架构和word2vec的CBOW模型架构非常相似。下面是fastText模型架构图：
注意：此架构图没有展示词向量的训练过程。可以看到，和CBOW一样，fastText模型也只有三层：输入层、隐含层、输出层（Hierarchical Softmax），输入都是多个经向量表示的单词，输出都是一个特定的target，隐含层都是对多个词向量的叠加平均。
不同的是，CBOW的输入是目标单词的上下文，fastText的输入是多个单词及其n-gram特征，这些特征用来表示单个文档；CBOW的输入单词被onehot编码过，fastText的输入特征是被embedding过；CBOW的输出是目标词汇，fastText的输出是文档对应的类标。
值得注意的是，fastText在输入时，将单词的字符级别的n-gram向量作为额外的特征；在输出时，fastText采用了分层Softmax，大大降低了模型训练时间。这两个知识点在前文中已经讲过，这里不再赘述。
fastText相关公式的推导和CBOW非常类似，这里也不展开了。
现在抛开那些不是很讨人喜欢的公式推导，来想一想fastText文本分类的核心思想是什么？
仔细观察模型的后半部分，即从隐含层输出到输出层输出，会发现它就是一个softmax线性多类别分类器，分类器的输入是一个用来表征当前文档的向量；模型的前半部分，即从输入层输入到隐含层输出部分，主要在做一件事情：生成用来表征文档的向量。那么它是如何做的呢？叠加构成这篇文档的所有词及n-gram的词向量，然后取平均。叠加词向量背后的思想就是传统的词袋法，即将文档看成一个由词构成的集合。
于是fastText的核心思想就是：将整篇文档的词及n-gram向量叠加平均得到文档向量，然后使用文档向量做softmax多分类。这中间涉及到两个技巧：字符级n-gram特征的引入以及分层Softmax分类。
还有个问题，就是为何fastText的分类效果常常不输于传统的非线性分类器？
假设我们有两段文本：
我 来到 达观数据
俺 去了 达而观信息科技
这两段文本意思几乎一模一样，如果要分类，肯定要分到同一个类中去。但在传统的分类器中，用来表征这两段文本的向量可能差距非常大。传统的文本分类中，你需要计算出每个词的权重，比如tfidf值， “我”和“俺” 算出的tfidf值相差可能会比较大，其它词类似，于是，VSM（向量空间模型）中用来表征这两段文本的文本向量差别可能比较大。
但是fastText就不一样了，它是用单词的embedding叠加获得的文档向量，词向量的重要特点就是向量的距离可以用来衡量单词间的语义相似程度，于是，在fastText模型中，这两段文本的向量应该是非常相似的，于是，它们很大概率会被分到同一个类中。
使用词embedding而非词本身作为特征，这是fastText效果好的一个原因；另一个原因就是字符级n-gram特征的引入对分类效果会有一些提升 。
keras是一个抽象层次很高的神经网络API，由python编写，底层可以基于Tensorflow、Theano或者CNTK。它的优点在于：用户友好、模块性好、易扩展等。所以下面我会用keras简单搭一个fastText的demo版，生产可用的fastText请移步https://github.com/facebookresearch/fastText。
如果你弄懂了上面所讲的它的原理，下面的demo对你来讲应该是非常明了的。
为了简化我们的任务：
1. 训练词向量时，我们使用正常的word2vec方法，而真实的fastText还附加了字符级别的n-gram作为特征输入；
2. 我们的输出层使用简单的softmax分类，而真实的fastText使用的是Hierarchical Softmax。
首先定义几个常量：
VOCAB_SIZE = 2000
EMBEDDING_DIM =100
MAX_WORDS = 500
CLASS_NUM = 5
VOCAB_SIZE表示词汇表大小，这里简单设置为2000；
EMBEDDING_DIM表示经过embedding层输出，每个词被分布式表示的向量的维度，这里设置为100。比如对于“达观”这个词，会被一个长度为100的类似于[ 0.97860014, 5.93589592, 0.22342691, -3.83102846, -0.23053935, …]的实值向量来表示；
MAX_WORDS表示一篇文档最多使用的词个数，因为文档可能长短不一（即词数不同），为了能feed到一个固定维度的神经网络，我们需要设置一个最大词数，对于词数少于这个阈值的文档，我们需要用“未知词”去填充。比如可以设置词汇表中索引为0的词为“未知词”，用0去填充少于阈值的部分；
CLASS_NUM表示类别数，多分类问题，这里简单设置为5。
模型搭建遵循以下步骤：
1. 添加输入层（embedding层）。Embedding层的输入是一批文档，每个文档由一个词汇索引序列构成。例如：[10, 30, 80, 1000] 可能表示“我 昨天 来到 达观数据”这个短文本，其中“我”、“昨天”、“来到”、“达观数据”在词汇表中的索引分别是10、30、80、1000；Embedding层将每个单词映射成EMBEDDING_DIM维的向量。于是：input_shape=(BATCH_SIZE, MAX_WORDS), output_shape=(BATCH_SIZE,MAX_WORDS, EMBEDDING_DIM)；
2. 添加隐含层（投影层）。投影层对一个文档中所有单词的向量进行叠加平均。keras提供的GlobalAveragePooling1D类可以帮我们实现这个功能。这层的input_shape是Embedding层的output_shape，这层的output_shape=( BATCH_SIZE, EMBEDDING_DIM)；
3. 添加输出层（softmax层）。真实的fastText这层是Hierarchical Softmax，因为keras原生并没有支持Hierarchical Softmax，所以这里用Softmax代替。这层指定了CLASS_NUM，对于一篇文档，输出层会产生CLASS_NUM个概率值，分别表示此文档属于当前类的可能性。这层的output_shape=(BATCH_SIZE, CLASS_NUM)
4. 指定损失函数、优化器类型、评价指标，编译模型。损失函数我们设置为categorical_crossentropy，它就是我们上面所说的softmax回归的损失函数；优化器我们设置为SGD，表示随机梯度下降优化器；评价指标选择accuracy，表示精度。
用训练数据feed模型时，你需要：
1. 将文档分好词，构建词汇表。词汇表中每个词用一个整数（索引）来代替，并预留“未知词”索引，假设为0；
2. 对类标进行onehot化。假设我们文本数据总共有3个类别，对应的类标分别是1、2、3，那么这三个类标对应的onehot向量分别是[1, 0,
0]、[0, 1, 0]、[0, 0, 1]；
3. 对一批文本，将每个文本转化为词索引序列，每个类标转化为onehot向量。就像之前的例子，“我 昨天 来到 达观数据”可能被转化为[10, 30,
80, 1000]；它属于类别1，它的类标就是[1, 0, 0]。由于我们设置了MAX_WORDS=500，这个短文本向量后面就需要补496个0，即[10, 30, 80, 1000, 0, 0, 0, …, 0]。因此，batch_xs的 维度为( BATCH_SIZE,MAX_WORDS)，batch_ys的维度为（BATCH_SIZE, CLASS_NUM）。
下面是构建模型的代码，数据处理、feed数据到模型的代码比较繁琐，这里不展示。
fastText作为诞生不久的词向量训练、文本分类工具，在达观得到了比较深入的应用。主要被用在以下两个系统：
1. 同近义词挖掘。Facebook开源的fastText工具也实现了词向量的训练，达观基于各种垂直领域的语料，使用其挖掘出一批同近义词；
2. 文本分类系统。在类标数、数据量都比较大时，达观会选择fastText 来做文本分类，以实现快速训练预测、节省内存的目的。
http://credit-n.ru/zaymyi-next.html
：分别表示可见层和隐藏层的神经元数量；
：可见层的状态向量，
表示可见层中第
：可见层的状态向量，
表示隐藏层中第
：可见层的偏置向量，
表示可见层中第
隐藏层的偏置向量，
表示隐藏层中第个神经元的偏置；
：隐藏层和可见层之间的权重矩阵，
表示隐藏层中第
，可将其看作是W、a、b中所有分量拼接起来的到的长向量。
，使得RBM表示的概率分布尽可能与训练数据保持一致。
是训练样本的数量，
，则训练RBM的目标就是最大化似然函数：
为学习率，最终可以得到：
，取初始值：
，然后执行k步Gibbs抽样，其中第t步先后执行：
采样出
采样出
为1的话，表示用户对浏览过第i个电影，加入r之后的条件概率：
，其中U是m*m的正交矩阵，V是n*n的正交矩阵，Σ是m*n的对角阵，可以说是完美契合分解评分矩阵这个需求。其中，对角阵Σ还有一个特殊的性质，它的所有元素都非负，且依次减小。这个减小也特别快，在很多情况下，前10%的和就占了全部元素之和的99%以上，这就是说我们可以使用最大的k个值和对应大小的U、V矩阵来近似描述原始的评分矩阵。
。从图中可以看出，函数唯一的驻点 （0，0）为其最小值点。
。其一阶导数为
，从而可知其同样有唯一驻点（0，0）。从图中可以看出，函数并没有极值点。
。从图像中可以看出，函数一共有三个驻点，包括两个极小值点和一个极大值点，其中位于最左边的极小值点是函数的最小值点。
。其中点 （0，0，0）为其若干个鞍点中的一个。
，以及
求偏导数。整个式子中仅有
这一项与之相关，通过链式法则可知
和
，那么此时的评分计算方法就变成了
来描述
，对于w而言，其中可学习的项就对应了评分矩阵中有分值的项，而其他由于数据稀疏导致难以学习的项就相当于评分矩阵中的未评分项。这样一来，不仅解决了数据稀疏性带来的二阶权重学习问题，同时对于参数规模，也从
级别降到了O(kn)级别。
